Νόμος του Μπένφορντ: Παράξενο μαθηματικό φαινόμενο διέπει τους αριθμούς γύρω μας

Αν κανείς ζητούσε να δει έναν κατάλογο με τον πληθυσμό των χωρών του κόσμου, θα περίμενε να δει αριθμούς που το πρώτο ψηφίο τους θα ήταν τυχαίο, δηλαδή θα είχε την ίδια πιθανότητα να είναι 1, 2, 3, …9. Επειδή στο δεκαδικό σύστημα τα ψηφία εξαιρούμενου του μηδενός είναι 9, η πιθανότητα αυτή θα ήταν περίπου 11,1%. Την ίδια τυχαιότητα θα περίμενε κανείς και σε έναν πίνακα με τα μήκη των ποταμών της Υδρογείου, τα ύψη των βουνών, τον αριθμό των θανάτων ή των γεννήσεων, τις τιμές των μετοχών ή τους αριθμούς που περιέχονται σε ένα τυχαίο τεύχος ενός περιοδικού. Όμως τα πράγματα δεν είναι έτσι. Στην πραγματικότητα, σε όλες αυτές τις περιπτώσεις -και σε πολλές άλλες- θα διαπίστωνε ότι υπάρχει μια υπερεκπροσώπηση αριθμών που αρχίζουν με το ψηφίο 1 και μια μικρότερη υπερεκπροσώπηση αριθμών που αρχίζουν με το ψηφίο 2. Και οι δύο κατηγορίες θα κάλυπταν το 50% των αριθμών! Αντίθετα, μόλις το 10% των αριθμών θα άρχιζαν από τα ψηφία 8 και 9! Τα μικρότερα ψηφία δεν είναι απλώς πιο κοινά ως πρώτα ψηφία ενός αριθμού, αλλά αποδεικνύεται ότι υπάρχει μια συγκεκριμένη κατανομή. Η κατανομή αυτή ονομάστηκε νόμος του Μπένφορντ.

Σε πολλά -αλλά όχι όλα τα- σύνολα αριθμών του φυσικού κόσμου, το 30,1% των αριθμών αρχίζει από 1, το 17,6% από 2 κ.ο.κ. Ο νόμος του Μπένφορντ παραμένει σε ισχύ ακόμη και αν αλλάξει κανείς τις μονάδες μέτρησης των μεγεθών. Είτε μετρήσει τα μήκη των ποταμών σε μέτρα, είτε σε γιάρδες, είτε μετρήσει τις τιμές των μετοχών σε δολάρια ή δηνάρια, οι αναλογίες των αρχικών ψηφίων των αριθμών παραμένουν. Αν και οι μαθηματικοί έχουν προτείνει διάφορες εξηγήσεις για την εμφάνιση αυτού του φαινομένου, η τόσο μεγάλη έκτασή του δεν έχει βρει ακόμη κάποια απλή εξήγηση.

Παρατηρητικότητα

Πριν από τις αριθμομηχανές, οι άνθρωποι για να πάρουν απαντήσεις σε περίπλοκα αριθμητικά προβλήματα χρησιμοποιούσαν κάποιους πίνακες αναφοράς, που ονομάζονταν λογαριθμικοί πίνακες. Το 1881, ο αστρονόμος Σάιμον Νιούκομπ παρατήρησε ότι οι πρώτες σελίδες των λογαριθμικών πινάκων, που αντιστοιχούσαν σε αριθμούς που αρχίζουν με το ψηφίο 1, ήταν πιο φθαρμένες συγκριτικά με τις υπόλοιπες. Συμπέρανε ότι τα μικρότερα αρχικά ψηφία πρέπει να είναι πιο κοινά στις ομάδες αριθμών που συναντώνται στη φύση και δημοσίευσε τα ποσοστά για κάθε ψηφίο. Ο φυσικός Φρανκ Μπένφορντ έκανε την ίδια παρατήρηση το 1938 και γνωστοποίησε ευρύτερα αυτόν τον νόμο, συγκεντρώνοντας περισσότερα από 20.000 αριθμητικά δεδομένα, ώστε να δείξει την έκταση της εφαρμογής του. Καταπώς είναι συνηθισμένο, ο νόμος δεν έμεινε γνωστός με το όνομα του αρχικού επιστήμονα που τον ανακάλυψε…

Ο νόμος του Μπένφορντ δεν είναι ένα απλό μαθηματικό αξιοπερίεργο, μια μαθηματική παραξενιά. Έχει χρησιμοποιηθεί για να βάλει ανθρώπους πίσω από τα σίδερα και να ανιχνεύσει μεγάλης κλίμακας απάτες. Ο οικονομικός σύμβουλος Γουέσλι Ρόουντς καταδικάστηκε ότι εξαπάτησε επενδυτές, όταν οι κατήγοροι υποστήριξαν στο δικαστήριο ότι οι αριθμοί στα έγγραφα του Ρόουντς δεν ήταν σύμφωνοι με την αναμενόμενη κατανομή αρχικών ψηφίων και γι΄ αυτό ήταν πιθανότατα κατασκευασμένοι. Ο νόμος του Μπένφορντ χρησιμοποιήθηκε για να αποκαλυφθεί η λειτουργία δικτύου botnet στα κοινωνικά δίκτυα, για τον πολιτικό επηρεασμό των συμμετεχόντων σε αυτά. Επιστήμονας παρατήρησε ότι ο αριθμός ακολούθων πολλών χρηστών δεν ακολουθούσε τον νόμο του Μπένφορντ, ενώ αργότερα εντόπισε με παρόμοιο τρόπο εκείνους τους χρήστες του Twitter που αγοράζουν ψεύτικα retweets. Με χρήση του ίδιου νόμου εντοπίστηκε η δημιουργική λογιστική στα μακροοικονομικά δεδομένα της Ελλάδας, στην υποβολή της αίτησης για συμμετοχή της στην Ευρωζώνη. Το μήνυμα είναι καθαρό: Οι πραγματικές διεργασίες γεννούν αριθμούς που ευνοούν τα μικρά αρχικά ψηφία, ενώ οι απλοϊκές μέθοδοι παραποίησης των δεδομένων δεν το κάνουν.

Πλεόνασμα και έλλειμμα

Γιατί όμως η φύση παράγει πλεόνασμα από άσσους στην αρχή των αριθμών και έλλειμμα από εννιάρια; Καταρχήν υπάρχουν σύνολα δεδομένων που δεν ακολουθούν τον νόμο του Μπένφορντ, όπως τα ύψη των ανθρώπων, όταν μετρώνται σε πόδια ή ίντσες. Η μπίλια στον τροχό μιας ρουλέτας έχει ίδια πιθανότητα να σταματήσει σε αριθμό που αρχίζει με 1 ή με 2. Ο νόμος του Μπένφορντ είναι πιθανότερο να εμφανίζεται σε σύνολα δεδομένων, με αριθμούς που εκτείνονται πολλές τάξεις μεγέθους (πολλαπλάσια του 10) και προκύπτουν από ορισμένες τυχαίες διαδικασίες.

Η εκθετική ανάπτυξη είναι ένα ιδιαίτερα καλό παράδειγμα. Φανταστείτε ένα νησί με αρχικό πληθυσμό 100 ζώων, ο οποίος διπλασιάζεται κάθε χρόνο. Μετά από ένα έτος θα υπάρχουν 200 ζώα, μετά από δύο έτη 400. Ήδη μπορεί να παρατηρήσει κανείς κάτι παράξενο ως προς τα αρχικά ψηφία. Για ολόκληρη την πρώτη χρονιά, το πρώτο ψηφίο του πληθυσμού των ζώων είναι 1. Τη δεύτερη χρονιά, όμως, το μέγεθος του πληθυσμού καλύπτει αριθμούς από το 200 έως το 399, αφήνοντας τον μισό χρόνο που μπορεί να κυριαρχήσει το καθένα από τα ψηφία 2 και 3 ως πρώτο ψηφίο. Αυτό γίνεται σε ακόμη μεγαλύτερη έκταση την τρίτη χρονιά, με τους αριθμούς από το 400 έως το 799. Γενικώς για την αύξηση από το 1.000 έως το 2.000 απαιτείται διπλασιασμός, ενώ για την αύξηση από 8.000 στο 9.000 η αύξηση είναι μόνο 12,5% και αυτή η τάση επαναλαμβάνεται για κάθε νέα τάξη μεγέθους. Δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο με τις αρχικές παραμέτρους του παραδείγματος αυτού. Θα μπορούσαμε να είχαμε αρχίσει με 43 ζώα και έναν παράγοντα αύξησης κατά 1,3 φορές κάθε χρόνο, αλλά και πάλι θα είχαμε την ίδια κατανομή αρχικών ψηφίων. Σχεδόν οποιαδήποτε εκθετική αύξηση αυτού του τύπου τείνει να ακολουθεί τον νόμο του Μπένφορντ.

Επιμονή

Η αδιαφορία του νόμου για τις μονάδες μέτρησης είναι μια ακόμη ένδειξη γιατί είναι τόσο κοινός στον φυσικό κόσμο. Τα μήκη των ποταμών ακολουθούν τον νόμο του Μπένφορντ, είτε τα μετρήσουμε σε χιλιόμετρα, είτε σε μίλια, ενώ τα ύψη των ανθρώπων δεν τον ακολουθούν, καθώς τα ύψη αλλάζουν ριζικά όταν αλλάξουμε μονάδα μέτρησης, για παράδειγμα κανείς άνθρωπος δεν έχει ύψος 4 μέτρα. Στην περίπτωση της μετατροπής από μίλια σε μέτρα, στην ουσία πολλαπλασιάζουμε κάθε αριθμό με το 1.609,34. Όμως ο νόμος του Μπένφορντ συνεχίζει να ισχύει ακόμη κι αν πολλαπλασιάσουμε κάθε αριθμό με έναν διαφορετικό αριθμό και όχι με έναν σταθερό, όπως το 1.609,34. Αυτό σημαίνει ότι αν ένα φυσικό φαινόμενο μετράται ως το γινόμενο διάφορων ανεξάρτητων μετρήσεων, μόνο μία από τις μετρούμενες ποσότητες χρειάζεται να ακολουθεί τον νόμο του Μπένφορντ, ώστε να τον ακολουθεί και το σύνθετο φυσικό φαινόμενο.

Ο μαθηματικός Τεντ Χιλ ανακάλυψε αυτό που πολλοί θεωρούν ως την οριστική απόδειξη του νόμου του αρχικού ψηφίου (όπως λέγεται αλλιώς ο νόμος του Μπένφορντ). Μια απλουστευτική περιγραφή της απόδειξης λέει ότι αν διαλέξεις μια ομάδα τυχαίων αριθμών από μια ομάδα τυχαίων συνόλων αριθμών (κατανομές πιθανοτήτων με μαθηματικούς όρους), τότε οι αριθμοί αυτοί θα τείνουν στον νόμο του Μπένφορντ. Γι΄ αυτό οι αριθμοί που μπορεί να συναντήσει κανείς σε μια εφημερίδα, ακολουθούν αυτόν τον νόμο.

Επιμέλεια: Σταύρος ΞΕΝΙΚΟΥΔΑΚΗΣ – Πηγή: «Scientific American»

(Αναδημοσίευση από τον Ριζοσπάστη του Σαββατοκύριακου 12-13 Αυγούστου 2023))